Laplace Transform for Circuits

ラプラス変換は微分方程式を代数方程式に変換する方法。 回路解析だと、微分や積分が入った回路方程式を $s$ の世界に持っていって、ただの分数式として解いて、最後に逆変換で時間領域に戻す。面倒だけど、微分方程式を直接解くよりは楽。たぶんね。

定義

ラプラス変換は関数 $f(t)$ に $e^{-st}$ を掛けて $0$ から $\infty$ まで積分するだけ。

$$F(s) = \int_0^{\infty} f(t)\, e^{-st}\, dt$$

逆変換は複素積分。

$$f(t) = \frac{1}{2\pi j}\int_{\delta - j\infty}^{\delta + j\infty} F(s)\, e^{st}\, ds$$

$s = \alpha + j\omega$ だから、ラプラス変換は「$f(t)$ に $e^{-\alpha t}$ を掛けてからフーリエ変換する」と解釈できる。$e^{-\alpha t}$ の減衰因子のおかげで、フーリエ変換では収束しない関数（ステップ関数とか）も扱える。

基本関数のラプラス変換

単位ステップ関数

$$f(t) = u_{-1}(t) = \begin{cases} 1 & (0 < t < \infty) \\ 0 & (t < 0) \end{cases}$$

$t = 0$ でスイッチON。$f(t) = 1$ を代入して積分するだけ。

$$\mathcal{L}[u_{-1}(t)] = \int_0^{\infty} e^{-st}\, dt = \left[-\frac{e^{-st}}{s}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s}$$

$$u_{-1}(t) \longleftrightarrow \frac{1}{s}$$

単位インパルス関数

$t = 0$ で $\infty$ の値を持ち、面積は1。デルタ関数。

$$\mathcal{L}[u_0(t)] = 1$$ $$u_0(t) \longleftrightarrow 1$$

ラプラス変換の公式

ここが暗記パートで一番つらいところ。でもパターンは決まってるから、使ってるうちに覚える。

1. 線形性

$$a\, f_1(t) + b\, f_2(t) \longleftrightarrow a\, F_1(s) + b\, F_2(s)$$

当たり前だけど大事。部分分数分解で $F(s)$ をバラバラにして、それぞれ逆変換できるのはこの性質のおかげ。

2. 相似定理

$$f(at) \longleftrightarrow \frac{1}{a}\, F\!\left(\frac{s}{a}\right)$$

3. 変移定理（$t$ 領域）

$$f(t - a) \longleftrightarrow e^{-as}\, F(s)$$

時間を $a$ だけ遅らせると、$s$ 領域では $e^{-as}$ が掛かる。

3'. 変移定理（$s$ 領域）

$$e^{at} f(t) \longleftrightarrow F(s - a)$$

$f(t)$ に指数関数を掛けると、$s$ が $s - a$ にシフトする。減衰正弦波の変換で必須。

4. 微分

$$\frac{df(t)}{dt} \longleftrightarrow s\, F(s) - f(0)$$ $$\frac{d^2 f(t)}{dt^2} \longleftrightarrow s^2 F(s) - s\, f(0) - f'(0)$$

微分が $s$ の乗算になる。これがラプラス変換の一番の旨味。微分方程式が代数方程式になる理由がまさにこれ。$f(0)$ は初期値で、初期条件が自動的に組み込まれる。

5. 初期値定理と終値定理

$$\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} s\, F(s) \qquad \text{(初期値)}$$ $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} s\, F(s) \qquad \text{(終値)}$$

逆変換しなくても $F(s)$ から直接 $t \to 0$ と $t \to \infty$ の値がわかる。回路の定常状態を見たいときに便利。

6. 積分

$f(+0) = 0$ のとき、

$$\int_0^t f(t)\, dt \longleftrightarrow \frac{1}{s}\, F(s)$$

$f(+0) \neq 0$ のとき、

$$\int_{-\infty}^t f(t)\, dt \longleftrightarrow \frac{1}{s}\, F(s) + \frac{G(0)}{s}$$

$G(0) = \int_{-\infty}^0 f(t)\, dt$。コンデンサの初期電荷が絡むときに出てくる。

7. 乗算と除算

$$(-t)^n f(t) \longleftrightarrow \frac{d^n}{ds^n} F(s) \qquad \text{(乗算)}$$ $$\frac{1}{t}\, f(t) \longleftrightarrow \int_s^{\infty} F(s)\, ds \qquad \text{(除算)}$$

変換対

よく使うやつだけまとめる。

$$1 \longleftrightarrow \frac{1}{s}$$ $$e^{-at} \longleftrightarrow \frac{1}{s + a}$$ $$\cos\omega t \longleftrightarrow \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$ $$\sin\omega t \longleftrightarrow \frac{\omega}{s^2 + \omega^2}$$ $$\cosh\omega t \longleftrightarrow \frac{s}{s^2 - \omega^2}$$ $$\sinh\omega t \longleftrightarrow \frac{\omega}{s^2 - \omega^2}$$ $$e^{-at}\sin\omega t \longleftrightarrow \frac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}$$

最後のやつは $s$ 領域の変移定理（$s \to s + a$）から導出できる。$\sin\omega t$ の変換で $s$ を $s + a$ に置き換えるだけ。覚えなくても導けるけど、覚えてたほうが速い。

回路解析への応用

ここからが本番。回路方程式を立てて、ラプラス変換して、代数的に解いて、逆変換する。

RL直列回路（ステップ応答）

$t = 0$ でスイッチON、初期電流 $i(0) = 0$。

① 回路方程式

$$L\frac{di(t)}{dt} + Ri(t) = E$$

② ラプラス変換（微分の公式を適用）

$$L\{sI(s) - i(0)\} + RI(s) = \frac{E}{s}$$

③ 初期条件 $i(0) = 0$ を代入

$$(Ls + R)\, I(s) = \frac{E}{s}$$ $$I(s) = \frac{E}{s(Ls + R)} = \frac{E}{L} \cdot \frac{1}{s(s + R/L)}$$

④ 部分分数分解

$$I(s) = \frac{E}{R}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s + R/L}\right)$$

⑤ 逆変換（$1/s \to 1$、$1/(s+a) \to e^{-at}$）

$$i(t) = \frac{E}{R}\left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$$

時定数 $\tau = L/R$ で定常値 $E/R$ に近づく。$t = \tau$ で定常値の約63%に達する。

RC直列回路（ステップ応答）

$t = 0$ でスイッチON。

$$Ri(t) + \frac{1}{C}\int_0^t i(t)\, dt = E$$

ラプラス変換して（積分の公式を適用）、

$$RI(s) + \frac{1}{Cs}\, I(s) = \frac{E}{s}$$ $$I(s) = \frac{E}{s(R + 1/Cs)} = \frac{E}{R} \cdot \frac{1}{s + 1/CR}$$

逆変換。

$$i(t) = \frac{E}{R}\, e^{-\frac{1}{CR}t}$$

RLとは逆パターン。RLは電流が立ち上がる、RCは電流が減衰する。コンデンサが充電されるにつれて電流が流れなくなるから。

RC回路の放電

スイッチを切り替えて $t \geq 0$ で電源を切断。コンデンサの初期電荷 $q(0) = CE$。

$$V_R(t) + V_C(t) = 0 \quad \Longrightarrow \quad Ri(t) + \frac{1}{C}q(t) = 0$$

初期条件を含めてラプラス変換すると、

$$RI(s) + \frac{1}{C}\left\{\frac{CE}{s} + \frac{I(s)}{s}\right\} = 0$$ $$I(s) = -\frac{E}{R} \cdot \frac{1}{s + 1/CR}$$ $$i(t) = -\frac{E}{R}\, e^{-\frac{1}{CR}t}$$

マイナス符号は充電時と逆方向に電流が流れることを意味する。

ラプラス変換の手順まとめ

やることは毎回同じで、回路方程式を立てる（KVLかKCL）、ラプラス変換する（微分→ $s$ 乗算、積分→ $1/s$ 乗算、初期条件を代入）、$I(s)$ について解く（代数操作）、部分分数分解する、変換対を見て逆変換する。嫌いだけど、パターンを覚えてしまえば作業ゲーになる。