Nonhomogeneous Second-Order Linear ODEs

非斉次二階線形微分方程式を解くにはやることが2つある。

1. 斉次方程式（右辺=0）を解いて、解の形を求める（補関数）
2. 非斉次の右辺に合わせて特殊解を「予想」して、係数を決定する

一般解 = 補関数 + 特殊解。これだけ。あとはパターンマッチと計算力の世界。

問1

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + x = 8e^t$$

① 斉次を解く。 特性方程式 $\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$ を因数分解すると $(\lambda + 1)^2 = 0$。重解 $\lambda = -1$。

$$x_h = (C_1 + C_2 t)\, e^{-t}$$

② 特殊解を予想する。 右辺が $8e^t$ だから $x_p = Ae^t$ と予想。代入すると $x_p'' + 2x_p' + x_p = Ae^t + 2Ae^t + Ae^t = 4Ae^t = 8e^t$、よって $A = 2$。

$$x = 2e^t + (C_1 + C_2 t)\, e^{-t}$$

右辺の $e^t$ が補関数の $e^{-t}$ とかぶってないから、素直に $Ae^t$ で予想すればOK。かぶってたら $t$ を掛けて持ち上げる必要がある。

問2

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} + 2x = 5\cos t$$

特性方程式 $\lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0$。解の公式で $\lambda = 1 \pm i$。複素根。

$$x_h = e^t(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$$

右辺が $5\cos t$ だから $x_p = A\cos t + B\sin t$ と予想。代入して整理すると、

$$(A - 2B)\cos t + (2A + B)\sin t = 5\cos t$$

$\cos t$ と $\sin t$ の係数を比較して連立方程式。$A - 2B = 5$、$2A + B = 0$。解くと $A = 1$、$B = -2$。

$$x = \cos t - 2\sin t + e^t(C_1 \cos t + C_2 \sin t)$$

補関数は $e^t \cos t$、$e^t \sin t$ で、特殊解の $\cos t$、$\sin t$ とは別物（$e^t$ の有無が違う）。だからかぶらない。

問3

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + 4x = 4t^2 + 4t - 6$$

特性方程式 $\lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0$。$\lambda = -1 \pm \sqrt{3}\,i$。

$$x_h = (C_1 \cos\sqrt{3}\,t + C_2 \sin\sqrt{3}\,t)\, e^{-t}$$

右辺が2次多項式だから $x_p = At^2 + Bt + C$ と予想。$x_p' = 2At + B$、$x_p'' = 2A$。代入すると、

$$t^2(4A) + t(4A + 4B) + (2A + 2B + 4C) = 4t^2 + 4t - 6$$

係数比較で $A = 1$、$B = 0$、$C = -2$。

$$x = t^2 - 2 + (C_1 \cos\sqrt{3}\,t + C_2 \sin\sqrt{3}\,t)\, e^{-t}$$

多項式右辺は一番素直なパターン。右辺の最高次と同じ次数の多項式で予想するだけ。

問4

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} = -6t^2 + 6t + 6$$

特性方程式 $\lambda^2 - 2\lambda = 0$。$\lambda = 0,\, 2$。

$$x_h = C_1 e^{2t} + C_2$$

ここがちょっとした罠。右辺は2次多項式だから $At^2 + Bt + C$ と予想したくなるけど、$\lambda = 0$ が特性根にいるから定数項 $C$ が補関数の $C_2$（定数）とかぶる。だから1つ次数を上げて $x_p = At^3 + Bt^2 + Ct$ と予想する。

$x_p' = 3At^2 + 2Bt + C$、$x_p'' = 6At + 2B$。代入して、

$$-6At^2 + (6A - 4B)t + (2B - 2C) = -6t^2 + 6t + 6$$

$A = 1$、$B = 0$、$C = -4$。

$$x = t^3 - 4t + C_1 e^{2t} + C_2$$

問5

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = -4e^{-3t}$$

特性方程式 $\lambda^2 + 6\lambda + 9 = 0$。$(\lambda + 3)^2 = 0$、重解 $\lambda = -3$。

$$x_h = (C_1 + C_2 t)\, e^{-3t}$$

右辺の $e^{-3t}$ が補関数とモロかぶり。しかも重解だから $te^{-3t}$ ともかぶる。だから $t^2$ まで持ち上げて $x_p = At^2 e^{-3t}$ と予想する。

これを代入するのがちょっと面倒。$x_p = At^2 e^{-3t}$ の微分を頑張って計算すると、最終的に $2Ae^{-3t} = -4e^{-3t}$ に落ちて $A = -2$。

$$x = -2t^2 e^{-3t} + (C_1 + C_2 t)\, e^{-3t}$$

重解でかぶるケースは $t^2$ まで上げる。単根でかぶるなら $t$ を1つ掛けるだけでいい。このルールを覚えておけば予想で迷わない。

問6

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 3\frac{dx}{dt} + 2x = 2te^t$$

特性方程式 $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$。$(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$、$\lambda = 1,\, 2$。

$$x_h = C_1 e^{2t} + C_2 e^t$$

右辺が $2te^t$。$e^t$ が補関数にいるから $t$ を掛けて、$x_p = (A + Bt)te^t$ と予想。展開すると $x_p = (At + Bt^2)e^t$。

微分と代入がけっこう重いけど、係数比較で $A = -2$、$B = -1$。

$$x = (-2 - t)te^t + C_1 e^{2t} + C_2 e^t$$

右辺が「多項式 × 指数関数」のパターン。指数部分が補関数とかぶるから $t$ を掛ける。多項式部分は右辺と同じ次数（1次）で予想する。

問7

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 4x = -4\sin 2t$$

特性方程式 $\lambda^2 + 4 = 0$。$\lambda = \pm 2i$。

$$x_h = C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t$$

右辺の $\sin 2t$ が補関数とかぶる。$t$ を掛けて $x_p = (A\cos 2t + B\sin 2t)t$ と予想。

微分して代入すると綺麗に消えて、$4B\cos 2t - 4A\sin 2t = -4\sin 2t$。$A = 1$、$B = 0$。

$$x = t\cos 2t + C_1 \cos 2t + C_2 \sin 2t$$

三角関数がかぶるケースも $t$ を掛ける。ここまで来るとパターンが見えてくるよね。

初期値問題①

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 2\frac{dx}{dt} + x = t^2 - t - 3, \qquad x(0) = 3,\quad x'(0) = 4$$

特性方程式 $\lambda^2 - 2\lambda + 1 = 0$、重解 $\lambda = 1$。$x_h = (C_1 + C_2 t)e^t$。

$x_p = At^2 + Bt + C$ で予想。代入して $A = 1$、$B = 3$、$C = 1$。

$$x = t^2 + 3t + 1 + (C_1 + C_2 t)e^t$$

初期条件を適用する。$x(0) = 1 + C_1 = 3$ より $C_1 = 2$。$x'(0) = 3 + C_1 + C_2 = 4$ より $C_2 = -1$。

$$x = t^2 + 3t + 1 + (2 - t)e^t$$

初期値問題②

$$\frac{d^2x}{dt^2} - 4x = -e^{3t}, \qquad x(0) = 0,\quad x'(0) = -9$$

特性方程式 $\lambda^2 - 4 = 0$、$\lambda = \pm 2$。$x_h = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}$。

$e^{3t}$ は補関数とかぶらないから $x_p = Ae^{3t}$ で素直に予想。$9A - 4A = -1$ より $A = -\frac{1}{5}$。

$$x_p = -\frac{1}{5}e^{3t}$$

一般解は $x = -\frac{1}{5}e^{3t} + C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}$。初期条件から $C_1$、$C_2$ を決定する連立方程式を解く。

非斉次の特殊解予想で迷ったときの判断基準はシンプルで、右辺の関数が補関数とかぶってるかどうか。かぶってなければそのまま予想。かぶってたら $t$ を掛ける。重解でかぶってたら $t^2$ まで掛ける。