qkit1: Black-Scholes-Merton

なぜBSMから始めるのか

BSMモデルは1973年にBlack & Scholesが発表して、Mertonが拡張した。50年以上経った今でもオプション市場の共通言語であり続けている。IVサーフェスもGARCHもヘストンも、全部BSMからの拡張・修正として定義される。だからまずBSMを整理する。

1. 幾何ブラウン運動

BSMモデルは、原資産価格 $S_t$ が幾何ブラウン運動（GBM）に従うと仮定する。

$$dS_t = \mu\, S_t\, dt + \sigma\, S_t\, dW_t$$

$\mu$ はドリフト（期待リターン）、$\sigma$ はボラティリティ（リターンの標準偏差）、$W_t$ は標準ブラウン運動（ウィーナー過程）。

伊藤の補題を $\ln S_t$ に適用すると、

$$d(\ln S_t) = \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)dt + \sigma\, dW_t$$

これを積分すると、対数株価が正規分布に従うことがわかる。

$$\ln S_T = \ln S_0 + \left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma\sqrt{T}\, Z, \qquad Z \sim \mathcal{N}(0,1)$$

だから $S_T$ は対数正規分布に従う。

$$S_T = S_0 \exp\!\left[\left(\mu - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma\sqrt{T}\, Z\right]$$

BSMの6つの前提

それぞれ現実との乖離を意識しておくと、後で何を拡張しているかがクリアになる。

• GBMに従う $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$。現実にはファットテールやジャンプがある
• σは定数 $\sigma(t, S) = \sigma$。現実にはIVスマイル/スキューが存在する
• 連続取引 $\Delta t \to 0$ で連続ヘッジ。現実には離散的で取引コストもかかる
• rは定数 $dB_t = r\,B_t\,dt$。現実には確率的金利
• 配当なし $q = 0$。Merton拡張で対応する
• 無裁定 自己充足的ポートフォリオの存在。現実には市場の不完全性がある

2. Black-Scholes偏微分方程式

コールオプション $C(S, t)$ と原資産でデルタヘッジ・ポートフォリオ $\Pi$ を構成する。

$$\Pi = C - \Delta\, S$$

$\Delta = \partial C / \partial S$ を選ぶと、$dt$ の間に $\Pi$ の変化からリスク（$dW$ 項）が消える。無裁定条件 $d\Pi = r\Pi\,dt$ からBlack-Scholes PDEが導かれる。

$$\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS\frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0$$

Greeksの記法を使うとこうなる。

$$\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta - rC = 0$$

この等式は全Greeksが整合的かどうかの検証に使える。$\mu$ がPDEに現れないのがポイント。これはリスク中立価格付けの本質的帰結。

ヨーロピアン・コールの境界条件は、

$$C(S, T) = \max(S_T - K, 0)$$

これがterminal condition。あとは $C(0, t) = 0$、$S \to \infty$ のとき $C(S, t) \to S - Ke^{-r(T-t)}$。

3. リスク中立価格付けとBSM公式

ギルサノフの定理で確率測度を $\mathbb{P}$ から $\mathbb{Q}$ に変換すると、$S_t$ のドリフトが $\mu$ から $r$ に変わる。

$$dS_t = r\, S_t\, dt + \sigma\, S_t\, dW_t^{\mathbb{Q}}$$

$W_t^{\mathbb{Q}} = W_t + \frac{\mu - r}{\sigma}t$ は $\mathbb{Q}$ の下での標準ブラウン運動。

$\mathbb{Q}$ の下で対数株価は、

$$\ln S_T \sim \mathcal{N}\!\left(\ln S_0 + \left(r - \frac{1}{2}\sigma^2\right)T,\; \sigma^2 T\right)$$

コール価格はリスク中立測度の下での割引期待ペイオフ。

$$C = e^{-rT}\, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\left[\max(S_T - K, 0)\right]$$

$S_T$ の対数正規性を使ってこの期待値を解析的に計算すると、BSM公式が出てくる。

$$C = S_0\, N(d_1) - K\, e^{-rT}\, N(d_2)$$ $$P = K\, e^{-rT}\, N(-d_2) - S_0\, N(-d_1)$$

$N(\cdot)$ は標準正規分布の累積分布関数。$d_1, d_2$ は以下の通り。

$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

d₁, d₂の解釈

• $N(d_2)$ はリスク中立測度 $\mathbb{Q}$ の下で $S_T > K$（ITMで満期を迎える）確率
• $N(d_1)$ はデルタ。$S$ が $1 動いたときの $C$ の変化。$S$ で測った行使確率
• $S_0 N(d_1)$ は条件付き期待値 $e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[S_T \cdot \mathbb{1}_{S_T > K}]$
• $Ke^{-rT}N(d_2)$ は行使される場合に支払う行使価格の現在価値

$d_1$ は「ログモネイネス＋ドリフト項」をボラティリティで標準化したもの。$d_2$ はフォワード測度の下での対応物。

5つの入力パラメータ

• $S$ スポット価格。直接観測可能。市場データからリアルタイムで取得
• $K$ 行使価格。契約で決定。オプション契約仕様から取得
• $T$ 満期までの時間。契約で決定。年単位（$T = \text{days}/365$）
• $r$ リスクフリーレート。ほぼ直接観測可能。国債利回りから取得
• $\sigma$ ボラティリティ。観測不能。ヒストリカルVol or IVから推定

4つは観測可能だけど $\sigma$ だけは直接観測できない。これがIVを逆算する動機になる。

4. プット・コール・パリティ

無裁定条件の下で、同一の $S, K, T, r$ を持つヨーロピアン・コールとプットの間にこの関係が成立する。

$$C - P = S_0 - K\, e^{-rT}$$

これはモデルフリー（BSMに依存しない）の関係式。BSM公式から直接検証できる。

$$C - P = S_0 N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) - Ke^{-rT}N(-d_2) + S_0 N(-d_1)$$

$N(x) + N(-x) = 1$ を使って、

$$= S_0 \big(N(d_1) + N(-d_1)\big) - Ke^{-rT}\big(N(d_2) + N(-d_2)\big) = S_0 - Ke^{-rT}$$

パリティが崩れてたら、まず実装のバグを疑う（一番よくある原因）。次に市場データの裁定機会の可能性（実際にはビッド・アスクスプレッドで吸収される）。あとは配当や早期行使の影響で、アメリカンオプションだとパリティは不等式になる。

5. Greeks

すべての偏微分は $n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$（標準正規密度）を使って表現される。

Delta Δ

原資産感応度。

$$\Delta_{\text{call}} = \frac{\partial C}{\partial S} = N(d_1), \qquad \Delta_{\text{put}} = N(d_1) - 1$$

コールのデルタは $0 \leq \Delta \leq 1$。ATM（$S \approx K$）で $\Delta \approx 0.5$。

Gamma Γ

デルタの変化率（Call/Put共通）。

$$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{n(d_1)}{S\,\sigma\sqrt{T}}$$

$\Gamma > 0$ は常に成立。ATM付近で最大で、満期が近いほど鋭いピークになる。

Vega 𝒱

ボラティリティ感応度（Call/Put共通）。

$$\mathcal{V} = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = S\, n(d_1)\, \sqrt{T}$$

$\mathcal{V} > 0$ も常に成立。$\sigma$ が上がればCall/Put両方値上がりする。実務では1pp移動あたり（$\mathcal{V}/100$）で報告することが多い。

Theta Θ

タイムディケイ。

$$\Theta_{\text{call}} = -\frac{S\, n(d_1)\, \sigma}{2\sqrt{T}} - rK\,e^{-rT}\,N(d_2)$$ $$\Theta_{\text{put}} = -\frac{S\, n(d_1)\, \sigma}{2\sqrt{T}} + rK\,e^{-rT}\,N(-d_2)$$

オプション買い手にとって $\Theta < 0$（時間が経つと価値が減る）。実務では $\Theta/365$ で1日あたりの減価を報告する。

Rho ρ

金利感応度。

$$\rho_{\text{call}} = KT\,e^{-rT}\,N(d_2), \qquad \rho_{\text{put}} = -KT\,e^{-rT}\,N(-d_2)$$

短期オプションだと無視できるけど、LEAPSだとそうもいかない。

二次Greeks

• Vanna $= \frac{\partial^2 C}{\partial S \partial \sigma} = -\frac{n(d_1)\, d_2}{\sigma}$。$\sigma$ 変動に対する $\Delta$ の変化。スキュー取引のリスク管理に重要
• Volga $= \frac{\partial^2 C}{\partial \sigma^2} = S\,n(d_1)\sqrt{T}\,\frac{d_1\,d_2}{\sigma}$。$\sigma$ 変動に対するVegaの変化
• Charm $= \frac{\partial^2 C}{\partial S \partial T} = -n(d_1)\left[\frac{2(r - q)T - d_2\sigma\sqrt{T}}{2T\sigma\sqrt{T}}\right]$。時間経過による $\Delta$ 変化（Delta Bleed）。ヘッジのリバランス頻度判断に使う
• Speed $= \frac{\partial^3 C}{\partial S^3} = -\frac{\Gamma}{S}\left(\frac{d_1}{\sigma\sqrt{T}} + 1\right)$。$\Gamma$ の変化率

BSM PDEとの整合性

$$\Theta + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma + rS\Delta - rC = 0$$

Gamma-Thetaトレードオフ。 $r \approx 0$ のとき上式は近似的に、

$$\Theta \approx -\frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \Gamma$$

Gammaをロング（買い持ち）するとThetaを支払う。Gammaをショートすると毎日Thetaを受け取るけど、大きな価格変動のリスクを負う。これがオプション取引の一番基本的なトレードオフ。

Call/Put対称性

パリティから導出される関係として、$\Gamma_{\text{call}} = \Gamma_{\text{put}}$、$\mathcal{V}_{\text{call}} = \mathcal{V}_{\text{put}}$、$\Delta_{\text{put}} = \Delta_{\text{call}} - 1$ が成り立つ。

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参考文献

• Black, F. & Scholes, M. (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities." J. Political Economy, 81(3), 637-654
• Merton, R.C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing." Bell J. Economics, 4(1), 141-183
• Hull, J. (2024). Options, Futures, and Other Derivatives (12th ed.)
• Wilmott, P. (2006). Paul Wilmott on Quantitative Finance (2nd ed.)
• Shreve, S. (2004). Stochastic Calculus for Finance II
• Derman, E. & Taleb, N. (2005). "The Illusions of Dynamic Replication." Quantitative Finance, 5(4), 323-326
• Sinclair, E. (2020). Volatility Trading (2nd ed.)
• Haug, E.G. (2007). The Complete Guide to Option Pricing Formulas (2nd ed.)
• Merton, R.C. (1976). "Option pricing when underlying stock returns are discontinuous." J. Financial Economics, 3, 125-144
• Heston, S. (1993). "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility." Review of Financial Studies, 6, 327-343