Separable First-Order ODEs

変数分離形は微分方程式の一番基本的な解き方。$x$ を含む項を左、$t$ を含む項を右に分けて、両辺積分するだけ。やってること自体はシンプルなんだけど、符号の扱いと積分定数の処理で手が滑りやすい。

問1

$$\frac{dx}{dt} = x \cos t$$

$x$ と $t$ を分離する。

$$\frac{dx}{x} = \cos t\, dt$$

両辺積分して $\log|x| = \sin t + C$。指数をとると、

$$x = Ce^{\sin t}$$

$\pm e^C$ をまとめて $C$ と書き直してる。一番素直なパターン。

問2

$$\frac{dx}{dt} + 2te^x = 0$$

移項して $\frac{dx}{dt} = -2te^x$。両辺 $e^{-x}$ を掛けて分離する。

$$e^{-x}\, dx = -2t\, dt$$

両辺積分すると、

$$-e^{-x} = -t^2 + C$$

整理して $e^{-x} = t^2 + C'$ （$C' = -C$）。両辺logをとると、

$$x = -\log(t^2 + C)$$

ノートだと符号の処理がちょっと雑だけど、結果は合ってる。$e^{-x}dx$ を積分したら $-e^{-x}$ になるところ、符号を見失わないのが大事。

問3

$$\frac{dx}{dt} \cdot t = x \log t$$

分離して、

$$\frac{dx}{x} = \frac{\log t}{t}\, dt$$

左辺は $\log|x|$。右辺は $u = \log t$、$du = dt/t$ と置換すると $\int u\, du = \frac{1}{2}u^2$。

$$\log|x| = \frac{1}{2}(\log t)^2 + C$$

この形のまま置いておくのが無難。無理に指数とっても綺麗にならないんだよね。

問4

$$\frac{dx}{dt} = 1 + x^2$$

分離して、

$$\frac{dx}{1 + x^2} = dt$$

左辺は $\arctan$ の積分公式そのもの。

$$\arctan x = t + C$$ $$x = \tan(t + C)$$

$\tan$ の周期性から、$C$ の値によって解の定義域が変わる。$t + C = \pm\pi/2$ で発散するから、初期条件次第で有限時間で吹き飛ぶ解になる。

問5

$$\frac{dx}{dt} = e^{2t - x}$$

指数法則で分解すると $e^{2t} \cdot e^{-x}$。分離して、

$$e^x\, dx = e^{2t}\, dt$$

両辺積分。

$$e^x = \frac{1}{2}e^{2t} + C$$ $$x = \log\!\left(\frac{1}{2}e^{2t} + C\right)$$

$e^x > 0$ だから、$\frac{1}{2}e^{2t} + C > 0$ の範囲でのみ解が存在する。$C$ が負でデカいと、$t$ が小さいところで定義域が切れる。

問6

$$\frac{dx}{dt} \cdot t + 3x = 0$$

移項して $\frac{dx}{dt} = -\frac{3x}{t}$。分離すると、

$$\frac{dx}{x} = -\frac{3}{t}\, dt$$ $$\log|x| = -3\log|t| + C$$

$\log$ をまとめると $\log|xt^3| = C$、つまり $xt^3 = C'$。

$$x = \frac{C}{t^3}$$

$t = 0$ で発散する。原点を避けて定義される解。

問7

$$tx\frac{dx}{dt} = x^2 - 1$$

分離して、

$$\frac{x}{x^2 - 1}\, dx = \frac{1}{t}\, dt$$

左辺は $\frac{1}{2}\log|x^2 - 1|$（$u = x^2 - 1$ と置換）。右辺は $\log|t|$。

$$\frac{1}{2}\log|x^2 - 1| = \log|t| + C$$

両辺2倍して指数をとると、

$$x^2 - 1 = Ct^2$$ $$x^2 = Ct^2 + 1$$

$C > 0$ なら双曲線型、$C = 0$ なら $x = \pm 1$（定数解）、$C < 0$ なら楕円型。$x = \pm 1$ は元の方程式で右辺がゼロになる特異解でもある。